1. 求数列通项公式的方法
在寻找数列的通项公式时，可以采用以下几种常用方法：
- **观察法**：通过分析数列的规律，直接写出其通项表达式。
例如，对于数列 \(a_n = n^2\)，我们不难发现它是一个与平方相关的数列。
- **递推关系法**：如果已知递推关系（如 \(a_{n+1} = f(a_n)\)），可以通过迭代或代入的方式逐步推导出通项公式。
一个经典的例子是斐波那契数列：
\[
a_0 = 0, \, a_1 = 1, \, a_{n+2} = a_{n+1} + a_n
\]
这类问题通常可以通过特征方程或生成函数等方法来解决。
- **差分法**：对于形如 \(a_{n+1} - a_n = c\) 的线性递推关系，可以利用累加的方式求得通项公式。
2. 数列极限的计算
在求数列极限的过程中，可能会遇到以下几种典型情形：
- **基本初等数列**：例如几何级数、调和级数等，可以直接根据定义判断其是否收敛以及极限值。
几何级数：\(\sum r^n\) 收敛的前提是 \(|r| < 1\)，此时其和为 \(\frac{1}{1-r}\)。
- **夹逼定理（Squeeze Theorem）**：若存在两个数列 \(\{b_n\}\) 和 \(\{c_n\}\)，并且对所有正整数 \(n\) 都有 \(b_n \leq a_n \leq c_n\)，同时 \(\lim b_n = \lim c_n = L\)，那么可以得出 \(\lim a_n = L\)。
- **单调有界原理**：如果一个数列是有界的，并且单调递增或单调递减，则该数列必然存在有限极限。
- 对于一些复杂且无法显式表达的数列，还可以尝试使用洛必达法则（L'Hospital's Rule）、施托尔茨-切萨罗定理（Stolz-Cesaro theorem）等高级技巧进行求解。
3. 数列前 \(n\) 项和 \(S_n\) 的计算
当需要计算给定数列的前 \(n\) 项和时，应首先尝试寻找是否存在简单的模式。例如，对于等比数列，可以使用以下公式：
\[
S_n =
\begin{cases}
n \cdot a, & q = 1 \\
a \cdot \dfrac{(q^n - 1)}{(q - 1)}, & q \neq 1
\end{cases}
\]
在其他情况下，可能需要依据已知条件构建新的递归关系，或将问题转化为更易于求和的形式后进一步处理。
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