数学界的贝多芬
“他计算起来毫不费力，就像人呼吸、鹰翱翔于空中一样自然。”—— 桑尼·拉布 (Sunny Labh)请您想象那个时代：数学如同一团乱麻，充满了困惑与混沌。数字是难以驾驭的野兽，方程是狂野不羁、难以理解。
这就是 18 世纪，数学世界迫切需要一位英雄。
于是，莱昂哈德·欧拉Leonhard Euler登场了，拥有将数学混乱转化为优雅秩序的天赋。
欧拉出生于瑞士，数学家和物理学家，同时还身兼多职，但最重要的是，他是一位数学家，生活在 1707 年至 1783 年。
他被公认为有史以来最伟大、最多产的数学家之一，其贡献几乎遍及数学的每一个分支，以及物理学、天文学、工程学、逻辑学、音乐理论等等，凡是您能想到的领域，他几乎都有涉猎。
因他在该领域的精通和创造力而被誉为 “数学界的贝多芬” ，我们简单谈谈他的背景。
莱昂哈德·欧拉是第一个使用“函数”一词来描述一个变量与另一个变量之间关联的数学表达式的人。
他还定义了函数导数和积分的概念，并发展了它们的符号。 ✍️
欧拉出生于瑞士巴塞尔，父亲是一位路德宗牧师，母亲是一位商人的女儿。他早年就展现出对数学的兴趣和天赋，并受到著名数学家约翰·伯努利Johann Bernoulli的指导。
16 岁时，他进入巴塞尔大学学习神学、哲学和数学。17 岁时，他以一篇关于振动体声音的论文获得哲学硕士学位。
1727 年，他移居俄罗斯圣彼得堡，加入了新成立的科学院。在那里，他研究数学和物理学的各种问题，如变分法、微分方程、数论和力学。
他还解决了著名的巴塞尔问题，该问题要求求出自然数平方的倒数之和的确切值。
他证明了这个和等于 π²/6。
1741 年，欧拉接受了腓特烈大帝的邀请，加入柏林科学院。
在那里，他继续高产地产出数学论文和书籍，并与丹尼尔·伯努利、克里斯蒂安·哥德巴赫和皮埃尔·德·莫佩提等杰出数学家保持通信。
他还致力于数学的实际应用如光学、天文学、水利学和弹道学。
1766 年，欧拉返回圣彼得堡，并在那里度过了余生。尽管因白内障和青光眼双目失明，他仍在儿子和助手的帮助下继续产出非凡的数学成果。
数学贡献
欧拉的数学涉猎极为广泛。他在所有数学领域都游刃有余——从数论到几何，甚至涉足复分析和组合数学。
但他并非只是一个数学隐士。
他的思想不满足于停留在课堂内；它们还冒险进入了现实世界。
物理学、天文学、光学，凡是您能想到的，欧拉的数学技能无处不在。仿佛这还不够，他还革新了数学符号。
他引入了许多至今仍在使用的符号和记法，例如用 e 表示自然对数的底数，用 i 表示虚数单位，用 f(x) 表示 x 的函数，以及用 π 表示圆的周长与直径之比。
欧拉论文
《De progressionibus transcendentibus seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt》的一页。公共领域图片来源：维基共享资源
这篇论文由莱昂哈德·欧拉撰写发表于约1740年。这是他众多开创性论文中的一篇。
在论文中，欧拉处理了各种“超越”级数，并致力于寻找它们的和、逼近值或与其他数学常数的关系。他引入并发展了许多新的数学工具和函数来处理这些难题。
论文中一个著名的成果是引入了 Γ 函数 Gamma Function的雏形。
Γ函数是阶乘函数 n! 在实数和复数范围内的扩展，是研究这类超越问题的重要工具。欧拉试图找到一种方式来表达诸如 1/2! 这样的值； 论文体现了欧拉工作的一个典型特点：
定义和研究新的、更广泛的函数类别，以解决此前无法处理的数学问题。为后来的解析数论、函数论和数学分析奠定了基础。
分析：他发展了函数的概念，并在解析证明中使用了指数函数和对数函数。
他通过证明自然数平方的倒数之和等于 π²/6 解决了著名的巴塞尔问题。他还引入了伽玛函数作为阶乘函数的推广。
复分析：欧拉发现了将复指数函数与三角函数联系起来的卓越公式：e^(ix) = cos(x) + i sin(x)，其中 i 是虚数单位。
公式蕴含着著名的欧拉恒等式：e^(iπ) + 1 = 0
他还定义了复数和负数的对数。
作者/PhysInHistory 制作的图表
数论：他研究了数的各种性质，如可除性、素数性质、同余和丢番图方程。他证明了关于素数分布和性质的许多结果，例如素数的无穷性、素数调和级数的发散性，以及黎曼ζ函数的欧拉乘积公式。他还针对 n=3 的情况猜想了费马大定理。
代数：欧拉发展了代数方程及其根的理论。他引入了多项式函数及其次数的概念。他证明了代数基本定理，即每个多项式方程都有一个复根。他还发明了一种求解四次方程的新方法。
几何：他研究了平面和立体几何的各个方面，如圆锥曲线、多面体、曲线、曲面和球面几何。
他证明了许多关于几何图形性质和关系的结论，例如关于凸多面体的欧拉定理，该定理指出：
面数加顶点数，减去边数，等于二 (V - E + F = 2)。他还发现了欧拉线，该线穿过三角形的几个重要心。
拓扑学：欧拉被认为是拓扑学的奠基人之一，拓扑学研究的是连续变形下保持不变的形状性质。
他引入了拓扑空间的概念及其基本观念，如连通性和紧致性。他还通过解决著名的柯尼斯堡七桥问题而开创了图论的研究:
七桥问题 | 一笔画
该问题询问是否可能恰好穿过每座桥一次并返回起点。欧拉通过使用图中顶点的度（或价）的概念证明了这是不可能的。
组合数学：欧拉研究了涉及以不同方式计数和排列物体的各种问题。他发展了生成排列和组合的方法，例如递归和容斥原理。
他还引入了将正整数划分（分割）为较小正整数的概念。他发现了许多涉及二项式系数的公式和恒等式，例如欧拉五边形数定理。
这些只是欧拉数学工作的一些例子。
在他的一生中，他还探索并建立了更多主题和结果。
他生前发表了 800 多部书籍和论文，去世后又有 400 多部遗作出版。他的著作几乎涵盖了数学及其应用的方方面面。
他是一位将严谨和优雅与创造力和直觉相结合的天才。他也是一位谦逊虔诚的人，将数学视为荣耀上帝的一种方式。他曾说：
“既然我们是上帝的儿女，上帝依照数字、重量和尺度创造万物，我们理应视研究祂借数字展现的智慧为我们至高无上的职责。”弗朗索瓦·阿拉戈 (François Arago) 曾这样评价欧拉的数学能力：
“他计算起来毫不费力，就像人呼吸、鹰翱翔于空中一样自然。”欧拉确实是有史以来最伟大的数学家之一。现在您明白为什么他被称为 “数学界的贝多芬” 了。
就像贝多芬永恒的音乐旋律一样，欧拉的数学定理和符号如 “e”、“i” 和求和符号 ∑ 在数学世界至今仍是基础。
他的数学创新、多产输出、优雅解法以及在逆境中的韧性，都与贝多芬的音乐贡献形成了惊人的平行对比，这使他成为数学思想史上一位与之相称的对应人物。
