【编者按】感谢上海读者杰克朱为本文写作提供了思路和灵感。杰克朱在互动中指出：“希尔伯特的零点和基定理决定了其问题可以作为一个世纪的起点，而不是常人理解的名气！”“零点决定了代数簇的概念诞生，基决定了空间维度的概念，以上两种概念遍布所有应用领域！”
在科学史上，某些关键时刻不仅定义了一个时代，更为后续数个世纪的发展奠定了基调。1900年，大卫・希尔伯特（David Hilbert）于巴黎国际数学家大会上提出的23个问题，正是这样一个里程碑。这份问题集如同一幅精心绘制的地图，为二十世纪的数学研究指引了方向。
然而，这份地图的绘制并非偶然，而是深深植根于希尔伯特此前在代数几何中的突破性工作——尤其是希尔伯特基定理（Hilbert’s Basis Theorem）与希尔伯特零点定理（Hilbert’s Nullstellensatz）。这两个定理宛如一把“无形之剑”，为他奠定了方法论的基础与理论上的信心；而那23个问题，则是他挥剑所指的“伟大征途”。
要理解希尔伯特工作的革命性，需回溯至十九世纪末的数学界。当时，数学正陷入一场深刻的身份危机。柯西（Augustin-Louis
Cauchy）、魏尔斯特拉斯（Karl
Weierstrass）等人为分析学奠立的严格基础，与康托尔（Georg Cantor）的集合论革命形成强烈对比，而非欧几何的发现更从根本上动摇了数学真理的框架。尤其在代数几何领域，保罗・戈尔丹（Paul Gordan）曾对希尔伯特在不变量理论中采用的非构造性方法惊呼：“这不是数学，这是神学！”——此言生动折射出当时数学界对日益抽象的数学方法的怀疑与不安。
在此历史转折点上，希尔伯特展现出非凡的远见。他敏锐地意识到，数学需要一种新的统一语言，一种能够贯通不同分支的共同范式。而这一新范式的种子，正埋藏于他对不变量理论与代数几何的深入研究之中。
这一远见，在希尔伯特基定理（1888年）与希尔伯特零点定理（1893年）中得到了集中体现。两者不仅是代数几何的重大突破，更代表了一种根本性的方法论转向，其技术内涵与哲学意义值得深入审视。
希尔伯特基定理证明：若 R 是诺特环（Noetherian ring），则其上的多项式环 R[x₁,…,xₙ] 也是诺特环，即任意理想皆有限生成。换言之，描述一个代数簇（一组多项式方程的全部解）仅需有限个方程。这消除了代数几何的一个根本忧虑——此前数学家担心描述几何对象需无穷多个方程，导致系统研究难以进行。基定理确保了“有限性”，奠定了代数几何作为一门严格学科的基础。尤其值得注意的是，该定理采用存在性证明而非构造性证明，不具体给出生成元，却通过抽象推理确立了有限性。这种方法论的转变——从显式构造到抽象存在，标志着现代数学的一个重要转折。
希尔伯特零点定理则建立了几何与代数之间的深刻对应。其弱形式指出：若多项式 f 在代数簇 V(I) 上恒为零，则存在正整数 k 使得 fᵏ ∈ I；强形式则建立了仿射空间中代数集与根理想的一一对应。这一对应不仅是技术性的，更是概念性的：代数簇对应素理想，点对应极大理想，闭子簇对应商理想，正则函数对应坐标环中的元素。它意味着几何对象可通过纯代数方式把握，实现了几何直觉与代数严格性的统一。
希尔伯特的革命性远不止于定理本身，更在于他将数学的重心从“计算”转向“结构”。对比前后两个时期的数学实践即可清晰见出：前希尔伯特时期数学以具体计算和显式构造为主，各分支相对独立，倚重直觉与算法；而后希尔伯特时期数学则转向结构分析与存在性证明，强调整体统一性与公理化基础。这一范式转变在布尔巴基学派（Bourbaki）的著作中达至顶峰，但其思想源头正可追溯至希尔伯特的这两项奠基性工作。
这一新数学范式，在希尔伯特提出的23个问题中得到了全面展开与推广。这些问题并非孤立存在，而是构成一个连贯体系，集中体现了新范式的核心原则：
公理化与基础问题，如第1问题（连续统假设）与第2问题（算术公理的一致性），体现了对数学基础严格化的追求，是基定理中有限性与可判定性思想的延伸；
统一性问题，如第6问题（物理学的公理化）与第9问题（一般互反律），呼应了零点定理中的统一理念，追求不同数学领域间的深刻联系；
可计算性问题，如第10问题（丢番图方程的可解性）与第13问题（七次方程的求解），反映了基定理所蕴含的可计算思想，探讨算法可解性的边界。
希尔伯特在提出这些问题时，不仅是在设问，更是在示范一种新的数学研究方法论。
希尔伯特所确立的这一范式，其影响远超数学领域，延伸至整个科学界。在物理学中，零点定理的对偶思想应用于量子场论与弦理论，威滕（Edward Witten）等学者藉代数几何中的对偶概念理解物理对偶性；在计算机科学中，基定理直接推动Gröbner基理论的发展，成为符号计算的理论基石。
即便进入二十一世纪，希尔伯特的范式仍具有深刻的现实意义。在大数据领域，基定理所保证的有限生成性质对应于机器学习中的表示学习理论——虽数据或呈无限，有效特征必为有限维；在现代神经网络研究中，损失曲面可视作代数簇，训练过程则是在该簇上寻优，这一几何观点直接源于零点定理的几何－代数对应；随着人工智能系统日益复杂，公理化与形式化方法的重要性再次凸显，希尔伯特第2问题所关注的一致性，在AI安全性与可解释性研究中获得新的回响。
回望希尔伯特的遗产，我们所见不仅是一系列定理与问题，更是一种数学范式的根本转变：基定理与零点定理作为“无形之剑”，象征着从具体至抽象、从计算至结构、从分离至统一的方法论革命；23个问题作为“伟大征途”，则是这一新范式的全面应用与推广。希尔伯特的历史地位昭示我们，真正的科学革命往往发生于工具与愿景的交汇之处——他不仅提供了新的数学工具，更指明了一个新的数学愿景，一个统一、严谨、深刻的数学宇宙观。
而今，面对人工智能、量子计算等新挑战，希尔伯特的范式依然熠熠生辉：它提醒我们，突破往往源于基础理论的深度创新、不同领域的创造性融合，以及工具与愿景的完美结合。这正是希尔伯特留给后世最宝贵的遗产——不仅是一把“无形之剑”，更是一条永恒的“伟大征途”。
