数学家在高维空间“重造车轮”，攻克数十年的几何难题(数学家高斯百科)

你有没有想过如何在任意维度的空间里都可以构造出像车轮一样滚动的小物体？

做这件事情本身也会拓展我们对高维空间的认识。

现在疯狂的数学家家们正通过赋予车轮一种全新的形状来“重造车轮”。他们设想的新车轮看起来像一个多维的吉他拨片，从理论上讲，它能够以超越我们三维直觉的方式滚动。

这个突破通过展示如何在我们无法直观想象的维度中构造物体，从而解决了一项延续十几年的几何问题。

以色列爱因斯坦数学研究所的教授 Gil Kalai（未参与该研究）评价道：

这是一项令人震撼的理论。

研究结果证明，这些难以想象的物体可以在任意维度被构造出来，而且其尺寸仅为传统可滚动形状（如圆或球）的一小部分。

车轮之所以能滚动，是因为它属于“恒宽”物体——从任何方向看，其宽度都相同。这一几何性质使车轮在运动时，能够在两片平行平面（例如地面与车身）之间保持恒定距离。归根到底，如果一个形状能平稳滚动而不晃动，它就具有恒宽性。比如，把一个网球放在双手之间并保持手掌相互平行，随后旋转网球——你会发现双手的间距始终不变，因为网球具有恒宽几何；而像鸡蛋这样的细长形状则通不过这个检验。

圆和球是“恒宽”形状最简单、最直观的例子，人类利用它们来促进运动已有数千年历史。它们属于一种特殊的恒宽形状，称为“球”（ball）——其边界上所有点到中心的距离都相同。二维中是圆，三维中是球（更准确地说是球面），而这一概念还能推广到我们不易直观想象的更高维空间。

由于边界点到中心的距离固定，这些“球”非常“饱满”：在任意维度里，它们都是恒宽形状中体积最大的。但体积大并非总是理想。20 世纪 80 年代，数学家 Oded Schramm 提出问题：怎样在任意维度中找到体积最小的恒宽形状？这“是一个非常基础的问题”，Kalai 说，数学家们自那时起一直希望把它解决，“但没有人知道如何下手去研究”。

这个难题一直悬而未决，直到近些年，一支国际数学家团队提出了一种构造恒宽形状的新方法。研究者给出的做法是：取无限多个 维“球”的交集。相关结果以一篇简洁的三页证明上传到预印本平台 arXiv.org。论文合作者、挪威科技大学数学教授 Andriy Bondarenko 说：“这个‘配方’本身非常简单。”尽管使用和分析它相对直观，但研究团队花了数年时间才“明白为何一开始就该考虑这个配方”。

二维国度里的车轮

最新研究在任意维度上开创性地考察恒宽形状，但在二维或三维中设计“车轮”本身并不是新问题。在这些更易理解的低维里，数学家已经找到了许多体积更小的恒宽形状。二维情况下，鲁洛三角形（Reuleaux triangle）是恒宽形状中面积最小的。

Reuleaux triangle

你可以自己把它画出来：先画一个等边三角形，然后以三个顶点为圆心、用相同半径画三条圆弧（也可理解为一个“三圆文氏图”）。在三圆交汇的中心位置，会得到一个圆润的图形——它能像圆一样平稳滚动，但尺寸仅为同宽圆的一小部分。

在三维中也可以采用类似的方法：先从一个正四面体出发（由四个等边三角形构成），再在它的每个顶点添加一个球。多个球相互重叠后在中心形成的形状称为鲁洛四面体（Reuleaux tetrahedron）。它并非严格意义上的恒宽体——虽然已经很接近，但边缘仍然凸出得略多。对这些边缘做一些微小的打磨，就能得到一个恒宽形状。打磨有两种不同的做法，可得到两个略有差别的形状，称为迈斯纳体（Meissner bodies）。

但这些形状背后的简单公式并未告诉我们如何在四维或更高维中进行构造——那已超出人类的直观感知。Bondarenko 说：“把鲁洛构造推广开来极其困难；如果这很容易，早就有人做到了。”

高维中的车轮

最新研究通过扩展“鲁洛式交集”方法，给出了在任意维度构造恒宽物体的一般算法。研究团队采用了类似文氏图（Venn diagram）的思路，在高维空间的中心得到一种几何上“不寻常”的小块新形状。

为了在二维中加以表示，可以再次从一个等边三角形出发：以三角形的某个顶点为圆心，取与三角形边长相同的半径画一个圆。接着，设想让这个圆沿着三角形的轮廓移动：圆心沿每一条边上行、越过每个顶点，最终回到起点。随着圆的运动，有一些位置被它“反复占据”。这些圆在无穷多个位置的交集形成了一个熟悉的形状：鲁洛轮（Reuleaux wheel），即鲁洛三角形的推广。曼尼托巴大学的数学家、论文合作者 Andrii Arman 解释说：“这样做本质上与鲁洛三角形的构造相同，只是这里我们取的是无穷多个球的交集，而不是仅仅三四个。”只要在每个维度中恰当地选择“拖动圆（或球）”所沿的边界，这一简单且可计算的技巧就能在任意维度揭示一个恒宽物体。按照新研究，在任意维度选择该边界可归结为一个基本“配方”：在二维中，不再围绕等边三角形，而是沿四分之一圆弧描圆；在三维中，则进一步收缩为八分之一球面；更高维度按 2 的幂次继续这种模式。沿着这样的边界在 维中移动相应的 维球，会描绘出一个高维“文氏图”，研究者证明其中心的交集必定具有恰为 的宽度，从而在任意维度得到新的恒宽形状。

这种以“无穷”而非“有限”交集为核心的构造，不仅确保了恒宽性质，还使得在高维空间中计算其体积变得直观。相比之下，此前的构造往往需要对多变量积分进行估算；而最新方法无论维度多高，仅涉及两个变量。Kalai 评价道：“在高维中估体积真的很难”，但“整套（证明）相当简洁而优雅”。

新物体的体积约为 维球体体积的 倍，这意味着每提升一维，其体积都按指数方式递减。尽管这些形状在更高维度中迅速变小，它们仍非恒宽物体中最小的那类。Bondarenko 指出：“有猜想认为，在三维中迈斯纳体（Meissner bodies）具有可能的最小体积。”他补充说：“我们的结果只比它大 0.14%。”

Kalai 认为，用无穷级数在高维中构造这些形状，“或许标志着恒宽集研究的一个新纪元”。随着原始问题被验证，“我们正身处未知领域”，但借助这些新方法，“有希望攻克许多新的问题”。